Flashcard FC240990
Como determinar as abscissas dos pontos de interseção entre uma circunferência e uma elipse por substituição?
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2012
Como determinar as abscissas dos pontos de interseção entre uma circunferência e uma elipse por substituição?
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Resposta
Isolar \(y^2\) em uma das equações, substituir na outra para obter uma equação só em \(x\); resolver essa equação e então calcular os correspondentes \(y\).Exemplo:
Circunferência: \((x-1)^2+y^2=4\)
Elipse: \(\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{9}=1\)
Isolar: \(y^2=4-(x-1)^2\)
Substituir: \(x^2+\dfrac{4-(x-1)^2}{9}=1\)
Multiplicando por 9: \(9x^2+4-(x-1)^2=9\)
Simplificando: \(9x^2+4-(x^2-2x+1)=9\)
\(8x^2+2x+3=9\Rightarrow 4x^2+x-3=0\)
Calcular \(x\): \(\Delta=1+48=49\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm7}{8}\Rightarrow x=\dfrac{3}{4},\,-1\)
Calcular \(y\): para \(x=\tfrac{3}{4}\), \(y^2=4-(\tfrac{3}{4}-1)^2=4-\tfrac{1}{16}=\tfrac{63}{16}\Rightarrow y=\pm\dfrac{\sqrt{63}}{4}\);
para \(x=-1\), \(y^2=4-(-2)^2=0\Rightarrow y=0\).
Portanto os pontos de interseção são \(\left(\tfrac{3}{4},\pm\dfrac{\sqrt{63}}{4}\right)\) e \((-1,0)\).
Veja como foi cobrado:
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