Como determinar o ponto médio do maior lado de um triângulo no plano cartesiano?

Resposta

Calcule as distâncias entre os pares de vértices para identificar o maior lado e aplique o ponto médio \(M\!\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\) aos extremos desse lado.

Exemplo:
Se os vértices são \(P(1,1)\), \(Q(5,3)\) e \(R(2,-4)\):
\(d_{PQ}=\sqrt{(1-5)^2+(1-3)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\).
\(d_{PR}=\sqrt{(1-2)^2+(1-(-4))^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}\).
\(d_{QR}=\sqrt{(5-2)^2+(3-(-4))^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}\).
Como \(\sqrt{58}\) é o maior, o maior lado é \(QR\).
O ponto médio de \(Q(5,3)\) e \(R(2,-4)\) é
\(M\!\left(\dfrac{5+2}{2},\dfrac{3+(-4)}{2}\right)=M\!\left(\dfrac{7}{2},-\dfrac{1}{2}\right)=(3{,}5,\,-0{,}5).\)