Flashcard FC241002
Como se calcula o cosseno do ângulo entre dois segmentos em espaço 3D usando vetores?
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2012
Como se calcula o cosseno do ângulo entre dois segmentos em espaço 3D usando vetores?
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Resposta
Calcule os vetores dos segmentos a partir de um mesmo ponto, faça o produto escalar e divida pelo produto das normas: \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\).Explicação:
1) Escolher um ponto comum e obter os vetores dos segmentos: \(\vec u\) e \(\vec v\).
2) Calcular o produto escalar: \(\vec u\cdot\vec v\).
3) Calcular as normas: \(\|\vec u\|\) e \(\|\vec v\|\).
4) Aplicar \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\).
exemplo:
Pontos: \(X=(1,0,2),\;Y=(4,3,2),\;Z=(2,1,5)\).
Vetores a partir de \(X\): \(\vec{XY}=Y-X=(3,3,0),\;\vec{XZ}=Z-X=(1,1,3)\).
Produto escalar: \(\vec{XY}\cdot\vec{XZ}=3\cdot1+3\cdot1+0\cdot3=6\).
Normas: \(\|\vec{XY}\|=\sqrt{3^2+3^2}=\;3\sqrt{2},\;\|\vec{XZ}\|=\sqrt{1^2+1^2+3^2}=\sqrt{11}\).
Logo \(\displaystyle \cos\theta=\frac{6}{3\sqrt{2}\,\sqrt{11}}=\frac{2}{\sqrt{22}}=\frac{\sqrt{22}}{11}\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235818
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