Qual a relação entre o centro de uma circunferência e a mediatriz de uma corda?

O centro pertence à mediatriz da corda: é equidistante dos extremos.

Explicação:
Se A(x1,y1) e B(x2,y2) são extremos de uma corda, o centro C(h,k) satisfaz \( \sqrt{(h-x_1)^2+(k-y_1)^2}=\sqrt{(h-x_2)^2+(k-y_2)^2}\).
Ao elevar ao quadrado, obtém-se a equação da mediatriz; no caso de corda horizontal, os termos em k se cancelam e \(h=\tfrac{x_1+x_2}{2}\).

Exemplo:
Considere pontos (1,2), (5,2) e (3,6) na circunferência.
Como (1,2) e (5,2) têm mesma ordenada, \(h=\tfrac{1+5}{2}=3\).
Tomando \(C(3,k)\) e igualando distâncias a (1,2) e (3,6):
\( \sqrt{(3-1)^2+(k-2)^2}=\sqrt{(3-3)^2+(k-6)^2}\).
Ao quadrar: \(4+(k-2)^2=(k-6)^2\) → \(k=\tfrac{7}{2}\).
Logo \(C=(3,\tfrac{7}{2})\) e \(r^2=4+(\tfrac{3}{2})^2=\tfrac{25}{4}.\)