Flashcard FC241008
Qual a condição necessária e suficiente para que dois vetores em \(\mathbb R^2\) formem uma base desse espaço?
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2011
Qual a condição necessária e suficiente para que dois vetores em \(\mathbb R^2\) formem uma base desse espaço?
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Resposta
Que sejam linearmente independentes; equivalentemente, o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas é diferente de zero.Exemplo:
Sejam \(v_1=(2,1)\) e \(v_2=(1,1)\).
Determinante: \( \det\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot1=1\neq0\), logo são linearmente independentes e formam uma base de \(\mathbb R^2\).
Para representar \((x,y)\) como combinação linear: \( (x,y)=\alpha(2,1)+\beta(1,1)\).
Do sistema \(2\alpha+\beta=x,\;\alpha+\beta=y\) obtemos \( \alpha=x-y,\;\beta=2y-x\).
Por exemplo, \((5,4)=1\cdot(2,1)+3\cdot(1,1)\) pois \(1=5-4\) e \(3=2\cdot4-5\).
Veja como foi cobrado:
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