Como determinar se um plano é externo, tangente ou secante a uma esfera e como achar o ponto do plano mais próximo do centro da esfera?

Compare a distância do centro ao plano com o raio: d>r → externo; d=r → tangente; dprojeção ortogonal do centro sobre o plano.

Seja o plano \(ax+by+cz+d=0\) e o centro \(C=(x_0,y_0,z_0)\).
Distância: \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
A projeção (pé da perpendicular) é
\(P=C-\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}\,(a,b,c)\).

Exemplo:
Plano: \(2x-y+2z-3=0\). Centro: \(C=(1,0,2)\). Raio: \(r=2\).
Calcule \(d=\dfrac{|2\cdot1-1\cdot0+2\cdot2-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac{|3|}{3}=1\).
Como \(1<2\), o plano é secante à esfera.
Coeficiente para projeção: \(\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{3}{9}=\tfrac{1}{3}\).
Ponto mais próximo: \(P=(1,0,2)-\tfrac{1}{3}(2,-1,2)=(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{4}{3})\).