Como se obtém a reta tangente a y=f(x) em x=x0 e como se calcula a distância dessa reta a um ponto P(x1,y1)?

método: m=f'(x0). Equação: \(y-f(x_0)=m(x-x_0)\). Coloque em \(ax+by+c=0\). Distância: \(d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

Exemplo:
Considere \(y=x^2\) e tangente em \(x_0=2\).
\(f'(x)=2x\Rightarrow m=f'(2)=4\).
Ponto: \((2,f(2))=(2,4)\).
Reta tangente: \(y-4=4(x-2)\Rightarrow 4x-y-4=0\).
Distância até \(P(0,3)\):
\(d=\dfrac{|4\cdot0-1\cdot3-4|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}}=\dfrac{7}{\sqrt{17}}\approx1{,}697\).