Flashcard FC241033
Como se obtêm as coordenadas do incentro de um triângulo equilátero a partir dos vértices?
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2010
Como se obtêm as coordenadas do incentro de um triângulo equilátero a partir dos vértices?
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Resposta
Em um triângulo equilátero o incentro coincide com o baricentro, logo \(x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\) e \(y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}.\)Em triângulos equiláteros todos os centros coincidem, por isso basta a média das coordenadas dos vértices para achar o centro da inscrita.
A altura do triângulo de lado \(a\) é \(h=\dfrac{\sqrt3}{2}a\) e o raio da inscrita é \(r=\dfrac{h}{3}=\dfrac{\sqrt3}{6}a\).
Exemplo:
Considere \(A(0,0),\;B(4,0),\;C(2,2\sqrt3)\) (triângulo equilátero de lado \(4\)).
Centro: \(x_G=\dfrac{0+4+2}{3}=2,\; y_G=\dfrac{0+0+2\sqrt3}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.\)
Altura \(h=2\sqrt3\), raio \(r=\dfrac{h}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\).
Equação da inscrita: \(\,(x-2)^2+\left(y-\dfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2=\left(\dfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2=\dfrac{4}{3}\).\
Veja como foi cobrado:
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