Se uma reta que passa pela origem tem equação \(y=mx\), qual condição sobre \(m\) garante a existência de outro ponto com coordenadas inteiras além da origem?

m deve ser racional.

Se \(m=\frac{p}{q}\) em forma irredutível (p,q inteiros e \(q\neq0\)), então para qualquer inteiro \(k\) tomando \(x=qk\) obtemos \(y=pk\) inteiros, logo existem pontos \((qk,pk)\) distintos da origem.

Exemplo: Seja \(m=\tfrac{2}{3}\). Na reta \(y=\tfrac{2}{3}x\), escolhendo \(x=3\) temos \(y=2\), portanto \((3,2)\) é um vértice da malha. Para \(x=6\) temos \(y=4\), ponto \((6,4)\).