Flashcard FC241035
Qual é a equação da reta tangente ao círculo trigonométrico no ponto \( (\cos\theta,\sin\theta)\) e como encontrar sua interseção com o eixo Ox?
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2010
Qual é a equação da reta tangente ao círculo trigonométrico no ponto \( (\cos\theta,\sin\theta)\) e como encontrar sua interseção com o eixo Ox?
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Resposta
Equação: \(y-\sin\theta=-\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\,(x-\cos\theta)\).Interseção com Ox: tomar \(y=0\) e obter \(x_B=\dfrac{1}{\cos\theta}\), logo \(OB=\left\vert\sec\theta\right\vert\) (para \(\cos\theta\neq0\)).
Explicação:
A reta tangente em \(A(\cos\theta,\sin\theta)\) é perpendicular ao raio \(OA\), portanto sua inclinação é \(m=-\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\).
Escreve-se \(y-\sin\theta=m(x-\cos\theta)\).
Fazendo \(y=0\): \(-\sin\theta=m(x_B-\cos\theta)\). Substituindo \(m\) e isolando \(x_B\) vem \(x_B=\dfrac{1}{\cos\theta}\).
Assim \(OB=|x_B|=|\sec\theta|\).
Exemplo:
Seja \(\theta=\tfrac{2\pi}{3}\). Então \(\cos\theta=-\tfrac{1}{2}\), \(\sin\theta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Inclinação: \(m=-\dfrac{-1/2}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
Equação: \(y-\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\left(x+\tfrac{1}{2}\right)\).
Com \(y=0\): \(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\left(x_B+\tfrac{1}{2}\right)\Rightarrow x_B=-2\).
Logo \(OB=|-2|=2\), compatível com \(\left\vert\sec\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)\right\vert=2\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235851
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