Como determinar o valor de x que maximiza a receita quando \(R(x)=x\cdot p(x)\) e \(p(x)\) é diferenciável?

Calcule \(R'(x)=p(x)+x\,p'(x)\), resolva \(R'(x)=0\) no domínio admissível e confirme que é máximo (p.ex. \(R''(x)<0\)).

Exemplo:
Suponha \(p(x)=50-0{,}02x\). Então \(p'(x)=-0{,}02\).
\(R(x)=x(50-0{,}02x)=50x-0{,}02x^2\).
\(R'(x)=p(x)+x p'(x)=(50-0{,}02x)+x(-0{,}02)=50-0{,}04x\).
Resolver \(R'(x)=0\): \(50-0{,}04x=0\Rightarrow x=1250\).
Verificação: \(R''(x)=-0{,}04<0\), logo é máximo em \(x=1250\).