Em V = U1 ⊕ U2, como se determina a dimensão máxima do subespaço gerado por conjuntos de vetores distribuídos entre U1 e U2?

Resposta

Máximo: a soma dos números máximos de vetores linearmente independentes em cada subespaço, limitada por suas dimensões e por dependências internas.

Explicação:
Se houver \(k_1\) vetores em \(U_1\) e \(k_2\) em \(U_2\), então a dimensão gerada satisfaz
\(\dim\langle S\rangle \le \min(k_1,\dim U_1)+\min(k_2,\dim U_2)\),
e, se entre os \(k_i\) houver dependência real com posto \(r_i\), substitui-se \(\min(k_i,\dim U_i)\) por \(r_i\).
Como \(V=U_1\oplus U_2\), não há interseção não-trivial, logo soma-se diretamente os postos parciais.

Exemplo:
Considere \(\dim V=10\) com \(\dim U_1=4\) e \(\dim U_2=6\).
Suponha 5 vetores em \(U_1\) e 3 em \(U_2\), mas os 3 em \(U_2\) têm posto \(2\) (são dependentes).
Então a dimensão máxima gerada é \(\min(5,4)+2=4+2=6\).