Flashcard FC241043
Como determinar o conjunto-imagem de uma função contínua em [0,\infty) usando derivadas e limites?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Como determinar o conjunto-imagem de uma função contínua em [0,\infty) usando derivadas e limites?
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Resposta
Encontrando pontos críticos pela derivada e avaliando valores em 0, nos críticos e em \(\lim_{x\to\infty}\).
Explicação:
Calcule \(f'(x)\), ache os pontos críticos (onde \(f'=0\) ou \(f'\) indefinida). Avalie \(f(0)\), \(\lim_{x\to\infty}f(x)\) e os valores de \(f\) nos pontos críticos; o menor e o maior desses valores (se existem) dão o íntervalo imagem em \([0,\infty)\).
Exemplo:
Considere \(g(x)=x^2e^{-x}\), \(x\in[0,\infty)\).
Derivando: \(g'(x)=e^{-x}(2x-x^2)=x e^{-x}(2-x)\).
Zeros: \(x=0\) e \(x=2\).
Avaliações: \(g(0)=0\), \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\), \(g(2)=4e^{-2}=\dfrac{4}{e^2}\).
Logo, o conjunto-imagem é \([0,\tfrac{4}{e^2}]\).
Veja como foi cobrado:
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