Flashcard FC241044
Em coordenadas esféricas, como se traduzem as condições y ≥ 0 e z ≤ −√(x²+y²) em intervalos para θ e φ?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Em coordenadas esféricas, como se traduzem as condições y ≥ 0 e z ≤ −√(x²+y²) em intervalos para θ e φ?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
y ≥ 0 ⇒ θ ∈ [0,π].z ≤ −√(x²+y²) ⇒ φ ∈ [3π/4,π].
Explicação:
Usando x = ρ cosθ sinφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosφ com ρ≥0 e 0≤φ≤π:
• y ≥ 0 ⇒ ρ sinφ sinθ ≥ 0. Como ρ≥0 e sinφ≥0 em [0,π], segue sinθ ≥ 0 ⇒ θ ∈ [0,π].
• z ≤ −√(x²+y²) ⇒ ρ cosφ ≤ −ρ sinφ ⇒ cosφ ≤ −sinφ. Quadrando e combinando com z ≤ 0 (cosφ ≤ 0) resulta tan²φ ≤ 1 e φ ∈ [3π/4,π].
Exemplo:
Determine φ para a condição z ≥ √(x²+y²).
Usando as mesmas fórmulas: \( \rho\cos\varphi \ge \rho\sin\varphi \Rightarrow \cos\varphi\ge\sin\varphi \Rightarrow \tan\varphi\le1.\)
Como também z≥0 implica φ∈[0,π/2], concluímos \( \varphi\in[0,\pi/4]\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235860
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em