Flashcard FC241046
Como se define o traço de uma transformação linear e por que ele é invariante por mudança de base?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Como se define o traço de uma transformação linear e por que ele é invariante por mudança de base?
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Resposta
O traço é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz associada; é invariante porque matrizes relacionadas por similaridade têm o mesmo traço.O traço de uma transformação linear é obtido somando os elementos da diagonal principal da matriz que a representa.
Se duas matrizes representam a mesma transformação em bases diferentes, elas são semelhantes (A = P^{-1}BP) e a operação de similaridade preserva o traço, logo o valor não depende da base escolhida.
Além disso, o traço coincide com a soma dos autovalores contados com multiplicidade.
Exemplo:
Considere \(S\) com matriz na base canônica \( \displaystyle S=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}\).
Seu traço é \(2+3=5\).
Escolha a matriz de mudança de base \(P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\), com \(P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\).
Calcule \(P^{-1}SP\):
\(SP=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}\),
\(P^{-1}SP=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}\).
O traço de \(P^{-1}SP\) é \(2+3=5\), o mesmo valor, confirmando a invariância.
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