Flashcard FC241047
Qual é a condição de primeira ordem para extremos de uma função sob duas restrições independentes?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Qual é a condição de primeira ordem para extremos de uma função sob duas restrições independentes?
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Resposta
Existem λ e μ tais que \( \nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h \) e as restrições são satisfeitas.Explicação e exemplo:
A condição de Lagrange para duas restrições exige encontrar \( (x,y,z,\lambda,\mu) \) que resolvam
\( \nabla f(x,y,z)=\lambda\nabla g(x,y,z)+\mu\nabla h(x,y,z) \),
com \(g(x,y,z)=0\) e \(h(x,y,z)=0\).
Exemplo: seja \(f(x,y,z)=x+2y+3z\), \(g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9\), \(h(x,y,z)=x-y\).
Temos \( \nabla f=(1,2,3),\ \nabla g=(2x,2y,2z),\ \nabla h=(1,-1,0)\).
Sistema:
\(1=2\lambda x+\mu\),
\(2=2\lambda y-\mu\),
\(3=2\lambda z\),
\(x-y=0,\quad x^2+y^2+z^2=9\).
De \(x=y\) e das duas primeiras equações obtém-se \(\mu=-\tfrac12\) e \(2\lambda x= \tfrac32\).
Da terceira, \(2\lambda z=3\) ⇒ \(z=2x\). Substituindo em \(2x^2+z^2=9\) dá \(6x^2=9\) ⇒ \(x=\pm\sqrt{3/2}\).
Assim os pontos críticos são \((\pm\sqrt{3/2},\pm\sqrt{3/2},\pm2\sqrt{3/2})\) e os valores de \(f\) são \(f=9x= \pm 9\sqrt{3/2}\).
Veja como foi cobrado:
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