Como usar a série geométrica para obter a soma de uma série de potências cujo termo geral envolve \(k x^k\) (|x|<1)?

\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty kx^k=\dfrac{x}{(1-x)^2}\)

Derivação:
Comece com a série geométrica: \(\sum_{k=0}^\infty x^k=\dfrac{1}{1-x}\) para \(|x|<1\).
Diferencie em relação a \(x\): \(\sum_{k=1}^\infty k x^{k-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}\).
Multiplique por \(x\) para obter \(\sum_{k=1}^\infty k x^{k}=\dfrac{x}{(1-x)^2}\).

Exemplo:
Calcule \(\sum_{k=1}^\infty k\left(\tfrac{1}{3}\right)^k\).
Usando a fórmula com \(x=\tfrac{1}{3}\):
\(\dfrac{1/3}{(1-1/3)^2}=\dfrac{1/3}{(2/3)^2}=\dfrac{1/3}{4/9}=\dfrac{3}{4}.\)