Flashcard FC241051
Ao expressar \(\int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx\), como se determinam \(a,b\) e \(g_1,g_2\) a partir das curvas que limitam a região D?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Ao expressar \(\int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx\), como se determinam \(a,b\) e \(g_1,g_2\) a partir das curvas que limitam a região D?
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Resposta
g₁(x) e g₂(x) são as curvas que dão, para cada x, o menor e o maior valor de y; a e b são as abscissas das interseções relevantes onde se troca a ordem ou termina a região.Procedimento: escreva as curvas como \(y=\) funções de \(x\). Resolva \(g_1(x)=g_2(x)\) para obter as abscissas de interseção; escolha o intervalo \([a,b]\) onde a desigualdade \(g_1(x)\le g_2(x)\) vale; então a integral é \(\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx\).
Exemplo:
Se as curvas são \(y=x^3\) e \(y=x\), resolvemos \(x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0\), obtendo \(x=-1,0,1\). No intervalo \([0,1]\) tem-se \(x^3\le x\). Assim a integral sobre essa região por tiras verticais é
\(\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{x^3}^{x} f(x,y)\,dy\,dx\)
para cada \(x\in[0,1]\), \(y\) varia de \(x^3\) (inferior) até \(x\) (superior).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235867
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