Flashcard FC241052
Como o Teorema do Valor Médio e uma cota superior para f' permitem obter um limite superior para f(b)-f(a)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Como o Teorema do Valor Médio e uma cota superior para f' permitem obter um limite superior para f(b)-f(a)?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Se f'(x) ≤ M em [a,b], então f(b)-f(a) ≤ M(b-a).Explicação:
Pelo Teorema do Valor Médio existe \(c\in(a,b)\) tal que \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\).
Como \(f'(c)\le M\), segue \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\le M\), logo \(f(b)-f(a)\le M(b-a)\).
Assim obtém-se um limite superior para o incremento de \(f\) entre \(a\) e \(b\).
Exemplo:
Se \(f\) é diferenciável e \(f'(x)\le 2\) para todo \(x\), e \(f(0)=5\), então para \(b=3\):
\(f(3)-f(0)\le 2\cdot(3-0)\), ou seja \(f(3)\le 5+6=11\).
Essa cota é atingida por \(f(x)=2x+5\), pois \(\;f'(x)=2\le2\;\) e \(f(3)=11\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235868
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em