Como resolver uma equação diferencial separável e usar a condição inicial para determinar a constante e o ramo da solução?

Separar variáveis, integrar ambos os lados e aplicar a condição inicial para obter a constante e o sinal do ramo.

Explicação:
1) Escreva a EDO na forma g(y) dy = f(x) dx.
2) Integre: \(\int g(y)\,dy=\int f(x)\,dx + C\).
3) Isole y (pode surgir ± ao extrair raiz).
4) Use a condição inicial y(x0)=y0 para determinar C e escolher o ramo cujo valor em x0 coincide com y0.

Exemplo:
Considere \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x}{2y}\) com \(y(0)=1\).
Separe: \(2y\,dy=3x\,dx\).
Integre: \(\int 2y\,dy=\int 3x\,dx\Rightarrow y^2=\dfrac{3}{2}x^2+C\).
Use a condição: \(1^2=\dfrac{3}{2}\cdot0^2+C\Rightarrow C=1\).
Logo \(y(x)=\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}x^2+1}\). Como \(y(0)=1>0\), escolhe-se o ramo positivo: \(y(x)=\sqrt{\dfrac{3}{2}x^2+1}\).
Por exemplo, \(y(2)=\sqrt{\dfrac{3}{2}\cdot4+1}=\sqrt{7}\).