Flashcard FC241054
Como se obtém a dimensão da imagem de uma transformação linear a partir das colunas de sua matriz?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Como se obtém a dimensão da imagem de uma transformação linear a partir das colunas de sua matriz?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
A dimensão de Im(T) é o número de colunas linearmente independentes (o posto da matriz).Explicação:
Forme a matriz de T com as imagens dos vetores canônicos como colunas.
Reduza por eliminação até a forma escalonada: o número de colunas com pivô (lin. ind.) é a dimensão da imagem.
Exemplo:
Considere \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) dada por \(T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z)\).
As colunas são \(T(e_1)=(1,0,1),\;T(e_2)=(1,1,0),\;T(e_3)=(0,1,1)\), formando
\(\displaystyle A=\begin{bmatrix}1&1&0\\[4pt]0&1&1\\[4pt]1&0&1\end{bmatrix}\).
Eliminando obtemos forma escalonada com pivôs nas três colunas (determinante \(=2\neq0\)), logo o posto de \(A\) é 3 e \(\dim\mathrm{Im}(T)=3\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235870
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em