Como aplicar a linearidade da transformada de Laplace para calcular \(\mathcal{L}\{A + B\,t + C\,e^{\alpha t}\}\)?

Resposta:
Usa-se linearidade: \(\mathcal{L}\{A+Bt+Ce^{\alpha t}\}=A\mathcal{L}\{1\}+B\mathcal{L}\{t\}+C\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s^2}+\dfrac{C}{s-\alpha}.\)

Explicação:
Pela linearidade da transformada, cada termo é transformado separadamente e somado com seus coeficientes.
As transformadas básicas usadas são: \(\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s},\;\mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^2},\;\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}=\dfrac{1}{s-\alpha}.\)

exemplo:
Calcular \(\mathcal{L}\{3-4t+2e^{-t}\}\).
Aplicando a fórmula: \(\dfrac{3}{s}-\dfrac{4}{s^2}+\dfrac{2}{s+1}.\)
Colocando em denominador comum \(s^2(s+1)\):
\(\displaystyle \mathcal{L}=\dfrac{3s(s+1)-4(s+1)+2s^2}{s^2(s+1)}=\dfrac{5s^2-s-4}{s^2(s+1)}.\)