Flashcard FC241058
Como usar a propriedade de homogeneidade para provar que uma transformação T: \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) não é linear?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Como usar a propriedade de homogeneidade para provar que uma transformação T: \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) não é linear?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Prove que existe vetor \(v\) e escalar \(a\) tais que \(T(av)\neq a\,T(v)\).Explicação:
Verifica-se a homogeneidade: escolha um \(v\in\mathbb{R}^n\) e um escalar \(a\). Se \(T(av)\neq a\,T(v)\), então \(T\) não é linear.
Em geral, termos que envolvem produtos de coordenadas (como \(xy\), \(yz\), etc.) quebram a linearidade, pois componentes de uma transformação linear devem ser combinações lineares das coordenadas (sem produtos).
Exemplo: seja \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) dada por \(T(x,y)=(x,\;x y)\). Escolha \(v=(1,1)\) e \(a=2\):
\(T(1,1)=(1,1)\), então \(2T(1,1)=(2,2)\).
Por outro lado, \(T(2\cdot(1,1))=T(2,2)=(2,4)\).
Como \(T(2v)=(2,4)\neq(2,2)=2T(v)\), a homogeneidade falha e \(T\) não é linear.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235874
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em