Como se calcula a área entre uma função f(x) e sua reta tangente em um intervalo [a,b]?

Integrando a diferença f(x) − T(x) nos limites que delimitam a região.

Exemplo:
Considere \(f(x)=x^2\) e a reta tangente em \(x=1\).
Derivada: \(f'(x)=2x\Rightarrow f'(1)=2\).
Equação da reta: \(T(x)=2(x-1)+1=2x-1\).
A reta corta o eixo \(x\) em \(2x-1=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}\). A curva corta o eixo em \(x=0\).
Área sob a curva de 0 a 1: \(A_1=\int_0^1 x^2\,dx=\left.\dfrac{x^3}{3}\right|_0^1=\dfrac{1}{3}\).
Área sob a reta de \(\tfrac{1}{2}\) a 1: \(A_2=\int_{1/2}^1 (2x-1)\,dx=\left.x^2-x\right|_{1/2}^1=\dfrac{1}{4}\).
Área procurada: \(A=A_1-A_2=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}.\)