Flashcard FC241061
Se g é a inversa de f e f(b)=a, como expressar g''(a) em termos de f'(b) e f''(b)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Se g é a inversa de f e f(b)=a, como expressar g''(a) em termos de f'(b) e f''(b)?
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Resposta
\(g''(a)=-\dfrac{f''(b)}{(f'(b))^3}\)Explicação:
Derive \(g(f(x))=x\) duas vezes usando a regra da cadeia e produto; isolando \(g''\) e avaliando em \(x=b\) com \(a=f(b)\) obtém-se \(g''(a)=-\dfrac{f''(b)}{(f'(b))^3}\).
Exemplo:
Se \(f(x)=x^3+2x\) e \(b=1\) então \(a=f(1)=3\).
\(f'(x)=3x^2+2\Rightarrow f'(1)=5\).
\(f''(x)=6x\Rightarrow f''(1)=6\).
Logo \(g''(3)=-\dfrac{6}{5^3}=-\dfrac{6}{125}\).
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