Como determinar e classificar pontos críticos de uma função em (0,\infty) usando derivadas?

Calcule \(f'(x)\), resolva \(f'(x)=0\) no domínio e use \(f''(x)\): se \(f''>0\) é mínimo, se \(f''<0\) é máximo.

Exemplo:
Considere \(g(x)=x^2\ln x\), \(x>0\).
Calcule \(g'(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)\).
Igualando a zero: \(2\ln x+1=0\Rightarrow \ln x=-\tfrac{1}{2}\Rightarrow x=e^{-1/2}.\)
Segunda derivada: \(g''(x)=2\ln x+3\).
Em \(x=e^{-1/2}\): \(g''=2(-\tfrac{1}{2})+3=2>0\), logo é um mínimo local (e global no domínio).
Valor: \(g(e^{-1/2})=(e^{-1/2})^2\ln(e^{-1/2})=e^{-1}\cdot(-\tfrac{1}{2})=-\tfrac{1}{2e}.\)