Qual é a fórmula da integração por partes e como escolher convenientemente \(u\) e \(dv\)?

Fórmula: \( \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du.\)

Estratégia curta: escolha \(u\) como a função que simplifica ao derivar (ex.: algébrica antes de trig/exponencial) e \(dv\) como o restante, para que \(v\) seja fácil de integrar (use a regra prática LIATE como guia).

Exemplo:
Calcular \( \displaystyle\int_0^1 x e^{x}\,dx\).
Escolha \(u=x\Rightarrow du=dx\), \(dv=e^{x}dx\Rightarrow v=e^{x}\).
Aplicando: \( \displaystyle\int x e^{x}\,dx = x e^{x}-\int e^{x}\,dx = x e^{x}-e^{x}+C.\)
Avaliação no intervalo: \( \big[ x e^{x}-e^{x}\big]_0^1 = (1\cdot e - e)-(0\cdot1-1)=0-(-1)=1.\)