Flashcard FC241066
Qual vetor unitário dá o maior valor da derivada direcional em um ponto e como obtê‑lo a partir do gradiente?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Qual vetor unitário dá o maior valor da derivada direcional em um ponto e como obtê‑lo a partir do gradiente?
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Resposta
Direção: na direção de \(\nabla f(p)\); vetor unitário \(\dfrac{\nabla f(p)}{\|\nabla f(p)\|}\).Explicação:
Para qualquer vetor unitário \(v\) vale \(\partial_v f(p)=\nabla f(p)\cdot v\).
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, \(|\nabla f(p)\cdot v|\le\|\nabla f(p)\|\|v\|=\|\nabla f(p)\|\).
Assim o máximo é \(\|\nabla f(p)\|\), atingido quando \(v\) é paralelo a \(\nabla f(p)\), ou seja \(v=\dfrac{\nabla f(p)}{\|\nabla f(p)\|}\).
Exemplo:
Considere \(g(x,y)=x^2+xy-y\).
\(\nabla g=(2x+y,\;x-1)\).
Em \(p=(1,0)\): \(\nabla g(1,0)=(2,0)\) e \(\|\nabla g(1,0)\|=2\).
Logo o vetor unitário de máximo crescimento é \(\dfrac{(2,0)}{2}=(1,0)\) e o valor máximo da derivada direcional é \(2\).
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