Flashcard FC241067
Como verificar se um campo vetorial F=(P,Q) em \(\mathbb{R}^2\) é conservativo e como calcular a integral de linha entre dois pontos usando a função potencial?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Como verificar se um campo vetorial F=(P,Q) em \(\mathbb{R}^2\) é conservativo e como calcular a integral de linha entre dois pontos usando a função potencial?
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Resposta
Verificação curta: calcular \(\partial P/\partial y\) e \(\partial Q/\partial x\); se iguais em um domínio simplesmente conexo, F é conservativo e existe potencial f com \(\nabla f=F\). Assim \(\int_C F\cdot dr=f(\text{ponto final})-f(\text{ponto inicial})\).Exemplo prático:
Seja \(F=(2xy,\;x^2+3y^2)\).
Verifique parciais: \(\partial P/\partial y=2x\) e \(\partial Q/\partial x=2x\) → iguais, logo conservativo.
Encontre potencial integrando \(P\) em \(x\): \(f(x,y)=\int 2xy\,dx=x^2y+g(y)\).
Diferenciando em \(y\): \(f_y=x^2+g'(y)\) e igualando a \(Q\) dá \(g'(y)=3y^2\), então \(g(y)=y^3\).
Logo \(f(x,y)=x^2y+y^3\).
Integral de linha entre \((0,0)\) e \((1,2)\): \(f(1,2)-f(0,0)= (1^2\cdot2+2^3)-0=2+8=10\).
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