Se f é ímpar e periódica de período T, quais coeficientes da série de Fourier se anulam e qual a expressão útil para os coeficientes \(b_n\)?

Os termos constantes e cosenoidais se anulam: \(a_0=0,\;a_n=0\).

Fórmula para os senoidais: \(b_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{-T/2}^{T/2} f(x)\sin\!\left(\dfrac{2\pi n x}{T}\right)dx\), que por simetria ímpar vira \(b_n=\dfrac{4}{T}\displaystyle\int_{0}^{T/2} f(x)\sin\!\left(\dfrac{2\pi n x}{T}\right)dx\).

Explicação e exemplo:
Considere \(g\) de período \(T=4\) com \(g(x)=1\) em \(0
\(b_n=\dfrac{4}{4}\displaystyle\int_0^{2}1\cdot\sin\!\left(\dfrac{2\pi n x}{4}\right)dx=\displaystyle\int_0^{2}\sin\!\left(\dfrac{\pi n x}{2}\right)dx\)
\(=\left[-\dfrac{2}{\pi n}\cos\!\left(\dfrac{\pi n x}{2}\right)\right]_0^{2} =-\dfrac{2}{\pi n}\big(\cos(\pi n)-1\big) =-\dfrac{2}{\pi n}\big((-1)^n-1\big)\).
Assim, para \(n\) par \(b_n=0\) e para \(n\) ímpar \(b_n=\dfrac{4}{\pi n}\), logo a série é \(\displaystyle\sum_{n=1,3,5,\dots}\dfrac{4}{\pi n}\sin\!\left(\dfrac{\pi n x}{2}\right)\).