Flashcard FC241071
Ao convoluir duas funções gaussianas centradas, qual é a forma do resultado e como se relacionam as variâncias?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Ao convoluir duas funções gaussianas centradas, qual é a forma do resultado e como se relacionam as variâncias?
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Resposta
É outra gaussiana; a variância resultante é a soma das variâncias originais.Seja f e g gaussianas com variâncias \(\sigma_1^2\) e \(\sigma_2^2\). As suas transformadas são \(F_f(\omega)=e^{-\omega^2\sigma_1^2/2}\) e \(F_g(\omega)=e^{-\omega^2\sigma_2^2/2}\). Pela propriedade convolução ↔ produto no domínio de Fourier, tem-se \(F_H(\omega)=F_f(\omega)F_g(\omega)=e^{-\omega^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)/2}\), cuja inversa é uma gaussiana com variância \(\sigma_1^2+\sigma_2^2\).
Exemplo:
Considere \(\sigma_1=1\) e \(\sigma_2=2\). Então
\(F_f(\omega)=e^{-\omega^2/2}\), \(F_g(\omega)=e^{-2\omega^2}\).
Produto: \(F_H(\omega)=e^{-(1/2+2)\omega^2}=e^{-(5/2)\omega^2}\).
Logo a convolução é
\(H(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\cdot5}}\,e^{-x^2/(2\cdot5)}=\dfrac{1}{\sqrt{10\pi}}\,e^{-x^2/10}\).
Veja como foi cobrado:
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