Flashcard FC241072
Qual é a propriedade da transformada de Fourier que relaciona multiplicação por \(t^n\) no domínio do tempo com derivadas em \(\omega\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Qual é a propriedade da transformada de Fourier que relaciona multiplicação por \(t^n\) no domínio do tempo com derivadas em \(\omega\)?
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Resposta
Regra: \( \mathcal F\{t^n f(t)\}=i^n \dfrac{d^n}{d\omega^n}F(\omega)\).Aplicação rápida:
Uma demonstração elemental vem de trocar a ordem de multiplicação por \(t\) com a derivação em \(\omega\): \(\displaystyle \int t f(t)e^{i\omega t}\,dt = i\frac{d}{d\omega}\int f(t)e^{i\omega t}\,dt\).
Exemplo:
Considere \(\text{rect}(t)=\begin{cases}1,&|t|<\tfrac12\\0,&\text{caso contrário}\end{cases}\).
Sua transformada é \(R(\omega)=\displaystyle\int_{-1/2}^{1/2}e^{i\omega t}dt=\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}\).
Logo, pela propriedade com \(n=1\):
\(\displaystyle \mathcal F\{t\,\text{rect}(t)\}=i\frac{d}{d\omega}\! \left(\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}\right)\),
que é a forma prática de obter a transformada sem reavaliar a integral.
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