Flashcard FC241073
Como calcular \(\displaystyle\int_{a}^{\infty} e^{-\alpha t} e^{-i w t}\,dt\) e qual condição sobre \(\alpha\) garante convergência?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Como calcular \(\displaystyle\int_{a}^{\infty} e^{-\alpha t} e^{-i w t}\,dt\) e qual condição sobre \(\alpha\) garante convergência?
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Resposta
\(\displaystyle \frac{e^{-(\alpha+iw)a}}{\alpha+iw}\), válida para \(\Re(\alpha)>0\).
Explicação:
Escreve-se o integrando como \(e^{-(\alpha+iw)t}\).
Integração imediata: \(\displaystyle \int e^{-(\alpha+iw)t}\,dt=-\frac{e^{-(\alpha+iw)t}}{\alpha+iw}\).
Avaliando em \([a,\infty)\) e usando que \(e^{-(\alpha+iw)t}\to0\) quando \(t\to\infty\) se \(\Re(\alpha)>0\), obtém-se
\(\displaystyle \frac{e^{-(\alpha+iw)a}}{\alpha+iw}\).
exemplo: seja \(\alpha=2\) e \(a=1\).
\(\displaystyle \int_{1}^{\infty} e^{-2t}e^{-iwt}\,dt=\frac{e^{-(2+iw)\cdot1}}{2+iw}=\frac{e^{-2}e^{-iw}}{2+iw}.\)
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