Flashcard FC241079
Qual é a relação entre \(\dim(\ker T)\), \(\dim(\operatorname{Im} T)\) e a dimensão do espaço domínio \(V\) para uma transformação linear \(T:V\to W\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2015
Qual é a relação entre \(\dim(\ker T)\), \(\dim(\operatorname{Im} T)\) e a dimensão do espaço domínio \(V\) para uma transformação linear \(T:V\to W\)?
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Resposta
\(\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=\dim V\).Para qualquer transformação linear \(T:V\to W\) vale o Teorema do Núcleo e da Imagem (posto-nulidade), que afirma que a soma da dimensão do núcleo e da imagem é igual à dimensão do espaço domínio \(V\).
Exemplo:
Considere \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) representada pela matriz \(A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\[4pt]0&1&1&0\\[4pt]0&0&1&1\end{pmatrix}\). As equações \(Av=0\) são \(x+y=0,\;y+z=0,\;z+w=0\), cuja solução é \((x,y,z,w)=t(-1,1,-1,1)\), \(t\in\mathbb{R}\), então \(\dim(\ker T)=1\). Como as 3 linhas de \(A\) são linearmente independentes, \(\dim(\operatorname{Im} T)=3\). Logo \(\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=1+3=4=\dim\mathbb{R}^4\).
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