Quando existe o limite \(\lim_{x\to a} f(x)\) para uma função definida por partes?

Se e somente se os limites laterais em \(a\) existem e são iguais.

Explicação:
Calculam-se \(\lim_{x\to a^-} f(x)\) e \(\lim_{x\to a^+} f(x)\).
Se ambos existem e coincidem em \(L\), então \(\lim_{x\to a} f(x)=L\).
Caso contrário, o limite não existe. Mesmo se o limite existir, pode ocorrer \(f(a)\neq L\) (descontinuidade).

Exemplo:
Considere \(g(x)=\begin{cases}2x,&x<1\\0,&x=1\\2x,&x>1\end{cases}\).
\(\lim_{x\to1^-}2x=2\) e \(\lim_{x\to1^+}2x=2\), logo \(\lim_{x\to1}g(x)=2\).
Mas \(g(1)=0\neq2\), portanto há descontinuidade em \(x=1\).