Flashcard FC241087
Se um conjunto de n vetores é linearmente dependente, o que se pode afirmar sobre a dimensão do subespaço que eles geram?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2014
Se um conjunto de n vetores é linearmente dependente, o que se pode afirmar sobre a dimensão do subespaço que eles geram?
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Resposta
Que \(\dim UExplicação:
Se há uma relação linear não trivial \(c_1\vec v_1+\dots+c_n\vec v_n=0\) então algum \(\vec v_i\) é combinação linear dos demais e pode ser retirado sem alterar o subespaço gerado. Repetindo, obtém‑se uma base com no máximo \(n-1\) vetores, logo \(\dim U
Exemplo:
Considere vetores em \(\mathbb{R}^4\):
\(\vec v_1=(1,0,0,0),\;\vec v_2=(0,1,0,0),\;\vec v_3=(1,1,0,0),\;\vec v_4=(0,0,1,0)\).
Notamos que \(\vec v_1+\vec v_2-\vec v_3=0\), logo o conjunto é linearmente dependente.
Removendo \(\vec v_3\) fica \(\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_4\}\), que é linearmente independente e gera o mesmo subespaço de dimensão 3.
Portanto \(\dim U=3<4\).
Veja como foi cobrado:
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