Flashcard FC241088
Se f é derivável em [a,∞) e |f'(t)| ≤ M para todo t, qual desigualdade limita f(x) para x ≥ a sabendo f(a)=f_a?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2014
Se f é derivável em [a,∞) e |f'(t)| ≤ M para todo t, qual desigualdade limita f(x) para x ≥ a sabendo f(a)=f_a?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
f(x) ≥ f(a) - M(x-a) (e também f(x) ≤ f(a) + M(x-a)).Explicação:
Pelo Teorema do Valor Médio, para x≥a existe c∈(a,x) tal que \(f(x)-f(a)=f'(c)(x-a)\).
Como \(|f'(c)|\le M\), segue \(|f(x)-f(a)|\le M(x-a)\), hence \(f(a)-M(x-a)\le f(x)\le f(a)+M(x-a)\).
Exemplo:
Considere \(g\) com \(|g'(t)|\le 2\) e \(g(3)=8\). Para \(x\ge3\) temos
\(g(x)\ge 8-2(x-3)\).
Para encontrar o menor \(x\) tal que \(g(x)=0\) igualamos \(8-2(x-3)=0\).
Resolvendo: \(8-2x+6=0\Rightarrow 14-2x=0\Rightarrow x=7\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235904
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em