Qual condição algébrica as componentes de um vetor devem satisfazer para que ele seja ortogonal a outro vetor em \(\mathbb{R}^3\)?

O produto escalar deve ser zero: \( \vec v\cdot\vec w=0\), gerando uma equação linear entre as componentes.

Explicação:
Se \(\vec v=(v_1,v_2,v_3)\) e \(\vec w=(x,y,z)\), então \(\vec v\cdot\vec w=v_1x+v_2y+v_3z=0\), o que impõe uma relação linear entre \(x,y,z\).

Exemplo:
Considere \(\vec v=(2,-3,5)\) e um vetor \(\vec w=(x,y,2)\) com \(z=2\).
Calcula-se: \(2x-3y+5\cdot2=0 \Rightarrow 2x-3y+10=0\Rightarrow 2x-3y=-10\).
Escolhendo \(x=1\) obtemos \(2(1)-3y=-10\Rightarrow -3y=-12\Rightarrow y=4\).
Logo \(\vec w=(1,4,2)\) é ortogonal a \(\vec v\).