Como determinar a equação da reta que passa por dois pontos e calcular a área entre essa reta e uma função f(x) no intervalo entre esses pontos?

Rápido: Resolver \(y=ax+b\) pelos dois pontos para achar \(a,b\) e calcular \(A=\displaystyle\int_{a}^{b}\!(f(x)-(ax+b))\,dx\) (com sinal conforme quem está acima).

Explicação completa:
1) Dados dois pontos \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\), determinar a reta \(y=ax+b\) resolvendo o sistema \(y_1=ax_1+b,\;y_2=ax_2+b\) para obter \(a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) e \(b=y_1-ax_1\).
2) A área entre a curva \(y=f(x)\) e essa reta no intervalo \([x_1,x_2]\) é \(A=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\big(f(x)-(ax+b)\big)\,dx\), assumindo \(f(x)\ge ax+b\) nesse intervalo; caso contrário usar o valor absoluto da integral ou inverter a diferença.

Exemplo:
Considere \(f(x)=x^2\) nos pontos \(x_1=0,x_2=1\).
Retas pelos pontos \((0,0),(1,1)\): \(a=\dfrac{1-0}{1-0}=1,\;b=0\) então \(y=x\).
Área entre \(x^2\) e \(y=x\) em \([0,1]\):
\(A=\displaystyle\int_{0}^{1}\big(x - x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}.\)