Flashcard FC241094
Como determinar o ponto que minimiza uma função após eliminar uma variável usando uma restrição?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2013
Como determinar o ponto que minimiza uma função após eliminar uma variável usando uma restrição?
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Resposta
Igualar a derivada da função reduzida a zero e confirmar que a segunda derivada é positiva.Explicação:
1) Use a restrição para eliminar uma variável e obter \(f(x)\).
2) Calcule \(f'(x)\) e resolva \(f'(x)=0\) para achar pontos críticos.
3) Verifique \(f''(x)>0\) no ponto crítico para garantir mínimo.
Exemplo:
Problema: Para um cilindro fechado de volume \(V\) fixo, encontre o raio \(r\) que minimiza a área total \(S\).
Dados: \(S(r)=2\pi r^2+2\pi r h,\; V=\pi r^2 h\).
Elimine \(h\): \(h=\dfrac{V}{\pi r^2}\). Então
\(S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot\dfrac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\dfrac{2V}{r}\).
Derivada: \(S'(r)=4\pi r-\dfrac{2V}{r^2}\). Igualando a zero:
\(4\pi r=\dfrac{2V}{r^2}\Rightarrow r^3=\dfrac{V}{2\pi}\Rightarrow r=\left(\dfrac{V}{2\pi}\right)^{1/3}.\)
Segunda derivada: \(S''(r)=4\pi+\dfrac{4V}{r^3}>0\), logo é mínimo.
Veja como foi cobrado:
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