Flashcard FC241095
Quais são os autovalores e suas multiplicidades de uma reflexão ortogonal em \(\mathbb{R}^3\) que fixa um plano passando pela origem?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2013
Quais são os autovalores e suas multiplicidades de uma reflexão ortogonal em \(\mathbb{R}^3\) que fixa um plano passando pela origem?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
1 (multiplicidade 2) e -1 (multiplicidade 1)Vetores do plano fixo são enviados em si mesmos, logo têm autovalor \(1\).
O complemento ortogonal é uma reta gerada por um vetor normal \(n\); a reflexão inverte esse vetor, dando autovalor \(-1\).
As multiplicidades algébricas coincidem com as dimensões dos subespaços: \(2\) para o plano e \(1\) para a reta normal.
exemplo:
Considere a reflexão sobre o plano \(x+y+z=0\). Seja \(n=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\). A matriz da reflexão é \(R=I-2nn^{T}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-2&-2\\-2&1&-2\\-2&-2&1\end{pmatrix}\).
Calculando: \(R(1,1,1)^{T}=\frac{1}{3}(-3,-3,-3)^{T}=-(1,1,1)^{T}\) (autovalor \(-1\)).
Para \(v=(1,-1,0)\), que satisfaz \(1+(-1)+0=0\) (pertence ao plano), tem-se \(Rv=v\) (autovalor \(1\)).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235911
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em