Flashcard FC241096
Como se utiliza a distância ao quadrado e derivadas para encontrar pontos de uma curva y=f(x) mais próximos de um ponto fixo?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2013
Como se utiliza a distância ao quadrado e derivadas para encontrar pontos de uma curva y=f(x) mais próximos de um ponto fixo?
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Resposta
Minimiza-se \(D(x)=(x-x_0)^2+(f(x)-y_0)^2\), calcula-se \(D'(x)=0\) e verifica-se o mínimo.Explicação:
Forme \(D(x)=(x-x_0)^2+(f(x)-y_0)^2\).
Calcule \(D'(x)\) e resolva \(D'(x)=0\) para obter candidatos a pontos mais próximos.
Verifique quais são mínimos usando \(D''(x)>0\) ou comparando valores de \(D\).
Exemplo:
Se \(f(x)=2x+1\) e \((x_0,y_0)=(0,0)\):
\(D(x)=x^2+(2x+1)^2=5x^2+4x+1\).
\(D'(x)=10x+4=0\Rightarrow x=-\tfrac{2}{5}\).
Assim \(y=2\big(-\tfrac{2}{5}\big)+1=\tfrac{1}{5}\), ponto mais próximo \(\big(-\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5}\big)\).
Veja como foi cobrado:
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