Flashcard FC241100
Se T:V→V é linear, dim V = n finito e Im(T) = Ker(T). Qual é dim Ker(T) em função de n?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Se T:V→V é linear, dim V = n finito e Im(T) = Ker(T). Qual é dim Ker(T) em função de n?
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Resposta
dim Ker(T) = n/2Explicação:
Aplicando o teorema da dimensão: \( \,n=\dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T)\,\).
Como \(\dim\operatorname{Im}(T)=\dim\ker(T)=k\), segue \(n=k+k=2k\), logo \(k=\dfrac{n}{2}\).
Portanto, \(n\) deve ser par.
Exemplo:
Considere \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4\) definida por
\(T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_3,x_4,0,0)\).
Representação matricial:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 0&0&1&0\\[4pt] 0&0&0&1\\[4pt] 0&0&0&0\\[4pt] 0&0&0&0 \end{pmatrix}\).
Temos \(\ker(T)=\{(x_1,x_2,0,0)\}\) e \(\operatorname{Im}(T)=\{(y_1,y_2,0,0)\}\), ambos de dimensão 2, logo iguais e \(2=\tfrac{4}{2}\).
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