Como se obtém x(t) a partir de v(t) e como se determina a constante de integração?

Integrando: x(t)=\(\int v(t)\,dt + C\); determina-se C usando a condição inicial.

Explicação:
Para achar x(t), faça a integração de v(t) em relação a t e some a constante de integração C.
Encontre C impondo a condição inicial \(x(t_0)=x_0\): substitua \(t=t_0\) na expressão integrada e resolva para C.

Exemplo:
Se \(v(t)=3t^2-4t\) e \(x(1)=2\):
\(x(t)=\int(3t^2-4t)\,dt = t^3-2t^2+C\).
Aplicando \(x(1)=2\): \(2=1-2+C\Rightarrow C=3\).
Logo \(x(t)=t^3-2t^2+3\).
Verificação: \(x'(t)=3t^2-4t=v(t)\).