Ao trocar a ordem de integração numa integral dupla cuja integranda depende apenas de x, como se determinam os novos limites e como isso simplifica o cálculo?

Resposta: Projetar a região no eixo x (ou y), inverter as desigualdades para obter os novos limites; integrar primeiro em y produz o fator comprimento do intervalo em y, reduzindo para uma integral simples em x.

Explicação e exemplo:
Passos:
1) Descrever a região e obter a projeção no eixo escolhido.
2) Expressar os limites invertendo as relações entre x e y.
3) Como a função depende só de x, calcular \(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x)\,dy = f(x)\,[y_2(x)-y_1(x)]\).

Exemplo prático: calcular \(I=\displaystyle\int_{0}^{2}\!\int_{y}^{2} x^{2}\,dx\,dy\).
Descreve-se a região como \(0\le y\le x\le 2\), logo trocando a ordem: \(I=\displaystyle\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{x} x^{2}\,dy\,dx\).
Integrando em \(y\): \(\int_{0}^{x} x^{2}\,dy = x^{2}\cdot x = x^{3}\).
Agora integrar em \(x\): \(\displaystyle\int_{0}^{2} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2}= \frac{16}{4}=4\).
Exemplo