Qual é a fórmula da Regra de Leibniz para derivar uma integral com limites dependentes de x?

f'(x)=g(b(x))\,b'(x)-g(a(x))\,a'(x)

Se \(f(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} g(t)\,dt\), então aplicando a regra de Leibniz obtemos:
\(f'(x)=g(b(x))\,b'(x)-g(a(x))\,a'(x)\).
Isto decorre da aplicação da regra da cadeia aos limites dependentes de \(x\).

Exemplo: Seja \(f(x)=\int_{x^{2}}^{\sin x} e^{t^{2}}\,dt\).
Pela fórmula:
\(f'(x)=e^{(\sin x)^{2}}\cdot\cos x - e^{(x^{2})^{2}}\cdot 2x = e^{(\sin x)^{2}}\cos x - 2x\,e^{x^{4}}\).