O que ocorre com p(x)·e^{−x} quando x→+∞ para qualquer polinômio p(x)?

Tende a 0.

Explicação:
Qualquer polinômio p(x)=x^m·q(x) cresce no máximo como potência de x, enquanto e^{x} cresce exponencialmente; assim e^{−x} decai mais rápido que qualquer potência, logo
\( \displaystyle\lim_{x\to+\infty} p(x)e^{-x}=0.\)
Uma justificativa padrão usa o princípio de L'Hôpital: considere \( \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^m}{e^x}\). Aplicando L'Hôpital m vezes, o numerador torna-se constante e o denominador continua sendo \(e^x\), resultando em 0.

exemplo:
Para \(m=3\):
\( \displaystyle\lim_{x\to\infty}x^3e^{-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{e^x}\). Aplicando L'Hôpital:
\(=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{6x}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{6}{e^x}=0.\)