Como encontrar o fator integrante e usá‑lo para resolver uma EDO linear de 1ª ordem da forma \(y' + p(t)y = g(t)\)?

Multiplique por \(\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}\); então \(\frac{d}{dt}(\mu y)=\mu g(t)\) e integre.

Explicação completa:
Calcule \(\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}\).
Multiplique a EDO por \(\mu(t)\) para obter \(\frac{d}{dt}(\mu y)=\mu g(t)\).
Integre ambos os lados: \(\mu(t)y=\int \mu(t)g(t)\,dt + C\).
Por fim, resolva \(y=\frac{1}{\mu(t)}\left(\int \mu(t)g(t)\,dt + C\right)\).

exemplo:
Considere \(y' + \frac{3}{t}y = t^2,\ t>0\).
Calcule \(\mu(t)=e^{\int \frac{3}{t}dt}=e^{3\ln t}=t^3\).
Multiplicando: \(\frac{d}{dt}(t^3 y)=t^5\).
Integrando: \(t^3 y=\int t^5 dt=\frac{t^6}{6}+C\).
Logo \(y=\frac{t^3}{6}+\frac{C}{t^3}\).
Se \(y(1)=2\), então \(2=\frac{1}{6}+C\Rightarrow C=\frac{11}{6}\), e assim \(y=\frac{t^3}{6}+\frac{11}{6}t^{-3}\).