Por que, se \(\vec w\cdot\vec v_1=0\) e \(\vec w\cdot\vec v_2=0\), então \(\vec w\) é ortogonal a qualquer combinação linear \(a\vec v_1+b\vec v_2\)?

Porque o produto escalar é bilinear:
\( \vec w\cdot(a\vec v_1+b\vec v_2)=a(\vec w\cdot\vec v_1)+b(\vec w\cdot\vec v_2)=0.\)

Exemplo:
Tome \( \vec v_1=(1,0,0),\; \vec v_2=(0,1,0),\; \vec w=(0,0,1).\)
Então \( \vec w\cdot\vec v_1=0\) e \( \vec w\cdot\vec v_2=0.\)
Para \( \vec v_3=2\vec v_1-3\vec v_2\) temos
\( \vec w\cdot\vec v_3=\vec w\cdot(2\vec v_1-3\vec v_2)=2(\vec w\cdot\vec v_1)-3(\vec w\cdot\vec v_2)=2\cdot0-3\cdot0=0.\)
Assim, \(\vec w\) é ortogonal a qualquer combinação linear de \(\vec v_1\) e \(\vec v_2\).