Flashcard FC241115
Se \(\vec u+\vec v+\vec w=\vec 0\), como expressar \(\langle\vec u,\vec w\rangle\) em função de \(\langle\vec u,\vec u\rangle\) e \(\langle\vec u,\vec v\rangle\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Se \(\vec u+\vec v+\vec w=\vec 0\), como expressar \(\langle\vec u,\vec w\rangle\) em função de \(\langle\vec u,\vec u\rangle\) e \(\langle\vec u,\vec v\rangle\)?
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Resposta
\(\langle\vec u,\vec w\rangle = -\big(\langle\vec u,\vec u\rangle+\langle\vec u,\vec v\rangle\)\)Explicação:
Da hipótese segue \(\vec w=-(\vec u+\vec v)\).
Aplicando o produto escalar com \(\vec u\): \(\langle\vec u,\vec w\rangle = -\langle\vec u,\vec u+\vec v\rangle = -(\langle\vec u,\vec u\rangle+\langle\vec u,\vec v\rangle)\).
Exemplo:
Se \(\vec u=(1,0)\) e \(\vec v=(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt3}{2})\) (ambos de norma 1), então \(\vec w=-(\vec u+\vec v)=(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{\sqrt3}{2})\).
Calculando: \(\langle\vec u,\vec u\rangle=1\), \(\langle\vec u,\vec v\rangle=\tfrac{1}{2}\).
Pela fórmula: \(\langle\vec u,\vec w\rangle = -(1+\tfrac{1}{2})=-\tfrac{3}{2}\).
Diretamente: \(\langle\vec u,\vec w\rangle = (1)(-\tfrac{3}{2})+0\cdot(-\tfrac{\sqrt3}{2})=-\tfrac{3}{2}\).
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